次の曲線や直線で囲まれた部分の面積Sを求めます。 (1) $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$ (2) $x+4y=5$, $xy=1$

1. 問題の内容

次の曲線や直線で囲まれた部分の面積Sを求めます。

(1) $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$

(2) $x+4y=5$, $xy=1$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^2$と$y=\sqrt{x}$の交点を求めます。

$x^2 = \sqrt{x}$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x(x-1)(x^2+x+1) = 0$

$x=0, 1$

$x^2+x+1=0$は実数解を持たない。

交点は$(0,0)$と$(1,1)$です。

面積Sは、$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx$で計算できます。

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

(2) $x+4y=5$と$xy=1$の交点を求めます。

$x + \frac{4}{x} = 5$

$x^2 + 4 = 5x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

$x=1, 4$

$x=1$のとき、$y=1$

$x=4$のとき、$y=\frac{1}{4}$

交点は$(1,1)$と$(4,\frac{1}{4})$です。

$x+4y=5$より、$y = \frac{5-x}{4}$

$xy=1$より、$y=\frac{1}{x}$

面積Sは、$\int_{1}^{4} (\frac{5-x}{4} - \frac{1}{x}) dx$で計算できます。

$\int_{1}^{4} (\frac{5-x}{4} - \frac{1}{x}) dx = [\frac{5}{4}x - \frac{x^2}{8} - \ln|x|]_1^4 = (\frac{5}{4}(4) - \frac{4^2}{8} - \ln 4) - (\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \ln 1) = (5 - 2 - \ln 4) - (\frac{10-1}{8}) = 3 - \ln 4 - \frac{9}{8} = \frac{24-9}{8} - \ln 4 = \frac{15}{8} - \ln 4 = \frac{15}{8} - 2\ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{15}{8} - 2\ln 2$