次の曲線と直線で囲まれた部分の面積$S$を求めます。 (1) $x = y^2 + 1$, $x$軸, $y$軸, $y = 2$ (2) $x = y^2 - 1$, $x = y + 5$

1. 問題の内容

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積$S$を求めます。

(1) $x = y^2 + 1$, $x$軸, $y$軸, $y = 2$

(2) $x = y^2 - 1$, $x = y + 5$

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $x = y^2 + 1$, $x$軸, $y$軸, $y = 2$で囲まれた部分の面積を求める。

$y$軸と$y=2$の間で積分を行います。$x = y^2 + 1$は常に正なので、面積$S$は、

$S = \int_{0}^{2} (y^2 + 1) dy$

$S = [\frac{1}{3}y^3 + y]_0^2$

$S = (\frac{1}{3}(2)^3 + 2) - (\frac{1}{3}(0)^3 + 0)$

$S = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}$

(2) 曲線 $x = y^2 - 1$, $x = y + 5$で囲まれた部分の面積を求める。

交点を求めます。$y^2 - 1 = y + 5$から$y^2 - y - 6 = 0$

$(y - 3)(y + 2) = 0$なので、$y = 3, -2$

$x = y + 5$が常に$x = y^2 - 1$以上なので、面積$S$は、

$S = \int_{-2}^{3} (y + 5 - (y^2 - 1)) dy$

$S = \int_{-2}^{3} (y + 6 - y^2) dy$

$S = [\frac{1}{2}y^2 + 6y - \frac{1}{3}y^3]_{-2}^3$

$S = (\frac{1}{2}(3)^2 + 6(3) - \frac{1}{3}(3)^3) - (\frac{1}{2}(-2)^2 + 6(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3)$

$S = (\frac{9}{2} + 18 - 9) - (2 - 12 + \frac{8}{3})$

$S = (\frac{9}{2} + 9) - (-10 + \frac{8}{3})$

$S = \frac{9}{2} + 9 + 10 - \frac{8}{3} = \frac{9}{2} + 19 - \frac{8}{3} = \frac{27}{6} + \frac{114}{6} - \frac{16}{6} = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{3}$

(2) $\frac{125}{6}$