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区間 $[-1, 1]$ において定義された関数 $f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が区間 $[-1, 1]$ で連続であることを示してください。 (2) $f(x)$ の区間 $[-1, 1]$ における最大値と最小値を求めてください。

解析学関数の連続性最大値最小値導関数arcsin微分
2025/6/15

1. 問題の内容

区間 [−1,1][-1, 1] において定義された関数 f(x)=∣arcsin⁡x∣−2x1−x2f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2} について、以下の問いに答えます。
(1) f(x)f(x) が区間 [−1,1][-1, 1] で連続であることを示してください。
(2) f(x)f(x) の区間 [−1,1][-1, 1] における最大値と最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 連続性の証明
arcsin⁡x\arcsin x と 1−x2\sqrt{1-x^2} は [−1,1][-1,1] で連続です。∣arcsin⁡x∣|\arcsin x| は arcsin⁡x\arcsin x の絶対値なので、連続な関数の合成関数として連続です。2x2xも連続なので、2x1−x22x\sqrt{1-x^2}は連続です。二つの連続な関数の差も連続なので、f(x)f(x)は[−1,1][-1, 1]で連続です。
(2) 最大値と最小値の計算
まず、 f(x)f(x) の導関数を計算します。arcsin⁡x\arcsin x の絶対値があるので、xx の符号によって場合分けします。
* 0<x≤10 < x \le 1 のとき:
f(x)=arcsin⁡x−2x1−x2f(x) = \arcsin x - 2x\sqrt{1-x^2}
f′(x)=11−x2−21−x2+2x21−x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} + \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}
f′(x)=1−2(1−x2)+2x21−x2=4x2−11−x2f'(x) = \frac{1 - 2(1-x^2) + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{4x^2 - 1}{\sqrt{1-x^2}}
* −1≤x<0-1 \le x < 0 のとき:
f(x)=−arcsin⁡x−2x1−x2f(x) = -\arcsin x - 2x\sqrt{1-x^2}
f′(x)=−11−x2−21−x2+2x21−x2f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} + \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}
f′(x)=−1−2(1−x2)+2x21−x2=4x2−31−x2f'(x) = \frac{-1 - 2(1-x^2) + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{4x^2 - 3}{\sqrt{1-x^2}}
次に、f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
* 0<x≤10 < x \le 1 のとき: 4x2−1=04x^2 - 1 = 0 より x=±12x = \pm \frac{1}{2} 。0<x≤10 < x \le 1 なので、x=12x = \frac{1}{2}。
* −1≤x<0-1 \le x < 0 のとき: 4x2−3=04x^2 - 3 = 0 より x=±32x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}。 −1≤x<0-1 \le x < 0 なので、x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}。
x=±1,±12,±32,0x = \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 における f(x)f(x) の値を計算します。
f(−1)=∣−π2∣=π2≈1.57f(-1) = |-\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2} \approx 1.57
f(1)=∣π2∣=π2≈1.57f(1) = |\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2} \approx 1.57
f(0)=0f(0) = 0
f(12)=∣arcsin⁡12∣−2(12)1−(12)2=π6−32≈−0.34f(\frac{1}{2}) = |\arcsin \frac{1}{2}| - 2(\frac{1}{2})\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.34
f(−12)=∣−arcsin⁡12∣−2(−12)1−(−12)2=π6+32≈1.39f(-\frac{1}{2}) = |-\arcsin \frac{1}{2}| - 2(-\frac{1}{2})\sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.39
f(32)=∣arcsin⁡32∣−2(32)1−(32)2=π3−32≈−0.088f(\frac{\sqrt{3}}{2}) = |\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}| - 2(\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.088
f(−32)=∣−arcsin⁡32∣−2(−32)1−(−32)2=π3+32≈1.8255f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = |-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}| - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.8255
したがって、最大値は π3+32\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} であり、最小値は π6−32\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}です。

3. 最終的な答え

最大値: π3+32\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}
最小値: π6−32\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}

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