関数 $f(x) = \sqrt{3x}$ について、$f(x+\Delta x)$、$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$、および導関数 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ を計算し、それぞれのア、イ、ウ、エ、オに当てはまる適切な整数値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{3x}$ について、$f(x+\Delta x)$、$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$、および導関数 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ を計算し、それぞれのア、イ、ウ、エ、オに当てはまる適切な整数値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt{3x}$であるから、

関数値は $f(x+\Delta x) = \sqrt{3(x+\Delta x)}$ となり、アは3。

$y$ の増分は $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) = \sqrt{3(x+\Delta x)} - \sqrt{3x}$ となるので、イは3。

導関数 $f'(x)$ を求めるために、まず $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ を計算します。

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{3(x+\Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x}$

この式を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x}$ を掛けます。

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{3(x+\Delta x)} - \sqrt{3x})(\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x})}{\Delta x(\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x})}$

$= \frac{3(x+\Delta x) - 3x}{\Delta x(\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x})}$

$= \frac{3\Delta x}{\Delta x(\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x})}$

$= \frac{3}{\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x}}$

ここで、$\Delta x \to 0$ の極限を考えると、

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3}{\sqrt{3(x+\Delta x)} + \sqrt{3x}}$

$= \frac{3}{\sqrt{3x} + \sqrt{3x}} = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3x}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$

したがって、$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3x}}$ と比較して、ウは3、エは2、オは3。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 3

ウ: 3

エ: 2

オ: 3