$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ （$\alpha > 0$）を求めよ。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ （$\alpha > 0$）を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$$\int \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \int x^{-\alpha} dx$$

$\alpha \neq 1$ のとき、

$$\int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C$$

$\alpha = 1$ のとき、

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

次に、定積分を計算します。

(i) $\alpha \neq 1$ のとき

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \lim_{x \to 0} \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} = \frac{1}{1-\alpha} - \lim_{x \to 0} \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$

もし、$1 - \alpha > 0$、つまり $\alpha < 1$ ならば、$\lim_{x \to 0} x^{1-\alpha} = 0$ となり、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{1-\alpha}$$

もし、$1 - \alpha < 0$、つまり $\alpha > 1$ ならば、$\lim_{x \to 0} x^{1-\alpha} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{\alpha-1}} = \infty$ となり、積分は発散します。

(ii) $\alpha = 1$ のとき

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_{0}^{1} = \ln|1| - \lim_{x \to 0} \ln|x| = 0 - (-\infty) = \infty$$

積分は発散します。

したがって、積分は $\alpha < 1$ のとき収束し、$\alpha \geq 1$ のとき発散します。

3. 最終的な答え

$\alpha < 1$ のとき、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{1-\alpha}$

$\alpha \geq 1$ のとき、積分は発散する。