$f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ について、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ の範囲における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ について、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ の範囲における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の合成を使って変形する。

$\sqrt{3} \cos x + \sin x = R \sin(x + \alpha)$ とすると、

$R \cos \alpha = 1$

$R \sin \alpha = \sqrt{3}$

したがって、

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$R = 2$ （$R > 0$）

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

次に、$x$ の範囲 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ から、$x + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求める。

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{12} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6}$

$\sin \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 1 を取り、範囲 $\frac{7\pi}{12} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6}$ に $\frac{\pi}{2}$ が含まれるので、$f(x)$ の最大値は、$2 \times 1 = 2$ となる。

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ となる。しかし、これは $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ の範囲に含まれない。

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ であり、 $\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$ であり、$\sin \frac{7\pi}{12} = \sin (\pi - \frac{5\pi}{12}) = \sin \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$f(\frac{\pi}{4}) = 2 \sin \frac{7\pi}{12} = 2 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \sin \frac{7\pi}{6} = 2 (-\frac{1}{2}) = -1$

最小値は -1。

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ となる $x$ が範囲外なので、$x = \frac{\pi}{4}$ で最大値をとり、 $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f(x) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$。

範囲 $\frac{7\pi}{12} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6}$ では、 $\sin (x + \frac{\pi}{3})$ の最小値は $x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ のときの $-\frac{1}{2}$ なので、 $f(x) = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ が最小値。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

最小値：-1