次の極限を求めます。 $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - \sqrt{4x^2 + x}}{\sqrt{x^2 - 1} - x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - \sqrt{4x^2 + x}}{\sqrt{x^2 - 1} - x}$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$の極限を求める問題なので、$x < 0$として考えます。

$\sqrt{x^2} = |x| = -x$であることに注意します。

まず、分子と分母をそれぞれ$x$で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} - 1}$

次に、$\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$と$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$を計算します。$x < 0$に注意すると、

$\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{-\sqrt{x^2}} = - \sqrt{\frac{4x^2 + x}{x^2}} = - \sqrt{4 + \frac{1}{x}}$

$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{-\sqrt{x^2}} = - \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}} = - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{- \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} - 1}$

ここで、$x \to -\infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{- \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{2 + \sqrt{4 + 0}}{- \sqrt{1 - 0} - 1} = \frac{2 + 2}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2$

3. 最終的な答え

-2