$y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ のグラフで囲まれた部分の面積を、 $0 \le x \le \pi$ の範囲で求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ のグラフで囲まれた部分の面積を、 $0 \le x \le \pi$ の範囲で求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの関数の交点を求めます。

$\cos 2x = \sin 2x$

$\tan 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲で、$y = \cos 2x$ と $y = \sin 2x$ のグラフの位置関係を確認します。

$0 \le x \le \frac{\pi}{8}$ のとき、$\cos 2x \ge \sin 2x$

$\frac{\pi}{8} \le x \le \frac{5\pi}{8}$ のとき、$\sin 2x \ge \cos 2x$

$\frac{5\pi}{8} \le x \le \pi$ のとき、$\cos 2x \ge \sin 2x$

したがって、求める面積Sは、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} (\cos 2x - \sin 2x) dx + \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} (\sin 2x - \cos 2x) dx + \int_{\frac{5\pi}{8}}^{\pi} (\cos 2x - \sin 2x) dx$

$= [\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{8}} + [-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} + [\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x]_{\frac{5\pi}{8}}^{\pi}$

$= \frac{1}{2}(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} - \sin 0 - \cos 0) + \frac{1}{2}(-\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}(\sin 2\pi + \cos 2\pi - \sin \frac{5\pi}{4} - \cos \frac{5\pi}{4})$

$= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - 1) + \frac{1}{2}(-\frac{-\sqrt{2}}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2}(0 + 1 - \frac{-\sqrt{2}}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2})$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1) + \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) + \frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$