関数 $y = \frac{x^2 + 4}{2x}$ （ただし、$x \neq 0$）の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 4}{2x}$ （ただし、$x \neq 0$）の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$y = \frac{x^2 + 4}{2x} = \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$

$y'$ を計算すると、

$y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$

極値を与える $x$ の値を求めるために、$y' = 0$ となる $x$ を探します。

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、$y''$を計算して極値を判定します。

$y' = \frac{1}{2} - 2x^{-2}$

$y'' = 4x^{-3} = \frac{4}{x^3}$

$x = 2$のとき、$y'' = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$ なので、$x = 2$ で極小値をとります。その値は、

$y = \frac{2^2 + 4}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x = -2$のとき、$y'' = \frac{4}{(-2)^3} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} < 0$ なので、$x = -2$ で極大値をとります。その値は、

$y = \frac{(-2)^2 + 4}{2 \cdot (-2)} = \frac{8}{-4} = -2$

3. 最終的な答え

極小値：$x = 2$ のとき $y = 2$

極大値：$x = -2$ のとき $y = -2$