関数 $y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$

微分すると、

$y' = \frac{2(x^2 - 2x + 2) - 2(x-1)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 4x + 4 - (4x^2 - 8x + 4)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{-2x^2 + 4x}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

極値を求めるには、$y' = 0$ となる $x$ を見つけます。分母は常に正なので、分子が0になる場合を考えます。

$-2x^2 + 4x = 0$

$-2x(x - 2) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 2$ です。

次に、$x = 0$ と $x = 2$ の場合の $y$ の値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{2(0-1)}{0^2 - 2(0) + 2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x = 2$ のとき、$y = \frac{2(2-1)}{2^2 - 2(2) + 2} = \frac{2}{4 - 4 + 2} = \frac{2}{2} = 1$

次に、増減表を作成して、これらの点が極大値または極小値であるかを確認します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|------|-------|------|-------|------|-------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 減少 | -1 | 増加 | 1 | 減少 |

したがって、$x = 0$ で極小値 -1 をとり、$x = 2$ で極大値 1 をとります。

次に、関数の定義域を調べます。分母 $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$ は常に正なので、定義域は実数全体です。したがって、最大値と最小値は極大値と極小値に対応します。

3. 最終的な答え

最大値: 1 (x = 2 のとき)

最小値: -1 (x = 0 のとき)