与えられた2つの極限値を求める問題です。 最初の極限は$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ であり、 2番目の極限は$\lim_{h \to 0} \frac{(2x + h)^3 - (2x)^3}{h}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

最初の極限は$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ であり、

2番目の極限は$\lim_{h \to 0} \frac{(2x + h)^3 - (2x)^3}{h}$ です。

2. 解き方の手順

最初の極限を計算します。

分子を因数分解します。$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

$x \neq 2$ のとき、$\frac{x - 2}{x - 2} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

次に、2番目の極限を計算します。これは微分係数の定義と見ることができます。

$f(x) = x^3$ とすると、$f'(x) = 3x^2$ です。

与えられた極限は、$f(2x) = (2x)^3 = 8x^3$ の $x$ における微分係数の定義と見なせます。つまり、

$\lim_{h \to 0} \frac{(2x + h)^3 - (2x)^3}{h} = \frac{d}{dx} (2x)^3 = \frac{d}{dx} 8x^3 = 8 \cdot 3x^2 = 24x^2$

または、 $(2x + h)^3$ を展開して計算することもできます。

$(2x + h)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2h + 3(2x)h^2 + h^3 = 8x^3 + 12x^2h + 6xh^2 + h^3$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{(2x + h)^3 - (2x)^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8x^3 + 12x^2h + 6xh^2 + h^3 - 8x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{12x^2h + 6xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (12x^2 + 6xh + h^2) = 12x^2$

(2x)を一つの変数と見て微分の公式に当てはめると

$\lim_{h \to 0} \frac{(2x + h)^3 - (2x)^3}{h}=3(2x)^2=12x^2$

3. 最終的な答え

最初の極限値は12です。

2番目の極限値は$12x^2$です。