問題は2つの極限を求める問題です。 1つ目は $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ を求め、 2つ目は $\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの極限を求める問題です。

1つ目は $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ を求め、

2つ目は $\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

**1つ目の極限** $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ について

分子を因数分解します。$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。

したがって、

$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

$x \neq 2$ のとき、$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

**2つ目の極限** $\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h}$ について

$(2x+h)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2h + 3(2x)h^2 + h^3 = 8x^3 + 12x^2h + 6xh^2 + h^3$

したがって、

$\frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h} = \frac{8x^3 + 12x^2h + 6xh^2 + h^3 - 8x^3}{h} = \frac{12x^2h + 6xh^2 + h^3}{h}$

$h \neq 0$ のとき、$\frac{12x^2h + 6xh^2 + h^3}{h} = 12x^2 + 6xh + h^2$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h} = \lim_{h \to 0} (12x^2 + 6xh + h^2) = 12x^2 + 6x(0) + 0^2 = 12x^2$

3. 最終的な答え

1つ目の極限：12

2つ目の極限：$12x^2$