二つの曲線 $y = \log x$ と $y = ax^2$ が接する。 (1) $a$ の値と接点の座標を求めよ。 (2) この二つの曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

二つの曲線 $y = \log x$ と $y = ax^2$ が接する。

(1) $a$ の値と接点の座標を求めよ。

(2) この二つの曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

二つの曲線 $y = \log x$ と $y = ax^2$ が点 $(t, \log t)$ で接するとする。このとき、$\log t = at^2$ が成り立つ。

$y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$ である。

$y = ax^2$ の導関数は $y' = 2ax$ である。

接点 $(t, \log t)$ におけるそれぞれの接線の傾きは等しいので、

$\frac{1}{t} = 2at$

$2at^2 = 1$

$\log t = at^2$ より、

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

$2a (\sqrt{e})^2 = 1$

$2ae = 1$

$a = \frac{1}{2e}$

接点の座標は $(\sqrt{e}, \log \sqrt{e}) = (\sqrt{e}, \frac{1}{2})$

(2)

$y = \frac{1}{2e} x^2$ と $x$ 軸の交点は $x=0$

$y = \log x$ と $x$ 軸の交点は $x=1$

求める面積は、

$S = \int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e} x^2 dx - \int_1^{\sqrt{e}} \log x dx$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

$\int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e} x^2 dx = \frac{1}{2e} [\frac{1}{3} x^3]_0^{\sqrt{e}} = \frac{1}{2e} \frac{1}{3} (\sqrt{e})^3 = \frac{1}{6e} e\sqrt{e} = \frac{\sqrt{e}}{6}$

$\int \log x dx = x\log x - x + C$

$\int_1^{\sqrt{e}} \log x dx = [x\log x - x]_1^{\sqrt{e}} = (\sqrt{e} \log \sqrt{e} - \sqrt{e}) - (1 \log 1 - 1) = (\sqrt{e} \frac{1}{2} - \sqrt{e}) - (0-1) = -\frac{\sqrt{e}}{2} + 1$

$S = \frac{\sqrt{e}}{6} - (-\frac{\sqrt{e}}{2} + 1) = \frac{\sqrt{e}}{6} + \frac{\sqrt{e}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{e}}{6} + \frac{3\sqrt{e}}{6} - 1 = \frac{4\sqrt{e}}{6} - 1 = \frac{2\sqrt{e}}{3} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2e}$, 接点の座標$(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$

(2) 面積 $\frac{2\sqrt{e}}{3} - 1$