問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$y = \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = x \ln \left(1 - \frac{2}{x}\right)$

ここで、$t = -\frac{x}{2}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき、$t \to -\infty$ となります。また、$\frac{1}{x} = -\frac{1}{2t}$ となります。

$\ln y = -2t \ln \left(1 + \frac{1}{t}\right) = -2 \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}$

$t \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{t} \to 0$ となります。

$\lim_{t \to -\infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}$ を計算します。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{u \to 0} \frac{\ln (1+u)}{u}$ を考えます。

$\frac{d}{du} \ln(1+u) = \frac{1}{1+u}$, $\frac{d}{du} u = 1$ より

$\lim_{u \to 0} \frac{\frac{1}{1+u}}{1} = \lim_{u \to 0} \frac{1}{1+u} = 1$

したがって、

$\lim_{t \to -\infty} \ln y = -2 \lim_{t \to -\infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}} = -2(1) = -2$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -2$ より、

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = e^{-2}$