以下の4つの問題について、曲線または直線で囲まれた図形の面積を求めます。 (1) $y = x^2 - 6x + 5$ と $x$軸 (2) $y = x^2 - 2x$ と $y = -x$ (3) $y = \frac{10}{x}$ と $x + y = 7$ (4) $y = x^3$ と $y = 4x^2 - 3x$

## 問題48の解答

1. 問題の内容

以下の4つの問題について、曲線または直線で囲まれた図形の面積を求めます。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ と $x$軸

(2) $y = x^2 - 2x$ と $y = -x$

(3) $y = \frac{10}{x}$ と $x + y = 7$

(4) $y = x^3$ と $y = 4x^2 - 3x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ と $x$軸

まず、$y = x^2 - 6x + 5$ と $x$軸の交点を求めます。$y = 0$ とすると、

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

よって、$x = 1, 5$ が交点の $x$ 座標です。

次に、定積分を計算します。$1 \leq x \leq 5$ で $x$軸の下に曲線があるので、

$S = - \int_1^5 (x^2 - 6x + 5) \, dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x \right]_1^5$

$S = - \left[ (\frac{125}{3} - 75 + 25) - (\frac{1}{3} - 3 + 5) \right]$

$S = - \left[ \frac{125}{3} - 50 - \frac{1}{3} + 2 \right]$

$S = - \left[ \frac{124}{3} - 48 \right]$

$S = - \left[ \frac{124 - 144}{3} \right]$

$S = - \left[ -\frac{20}{3} \right] = \frac{32}{3}$

(2) $y = x^2 - 2x$ と $y = -x$

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^2 - 2x = -x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

よって、$x = 0, 1$ が交点の $x$ 座標です。

次に、定積分を計算します。$0 \leq x \leq 1$ で $-x$ が $x^2 - 2x$ より大きいので、

$S = \int_0^1 (-x - (x^2 - 2x)) \, dx$

$S = \int_0^1 (-x^2 + x) \, dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$

$S = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(3) $y = \frac{10}{x}$ と $x + y = 7$

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\frac{10}{x} = 7 - x$

$10 = 7x - x^2$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

$(x - 2)(x - 5) = 0$

よって、$x = 2, 5$ が交点の $x$ 座標です。

$2 \leq x \leq 5$ で $7-x$ が $\frac{10}{x}$ より大きいので、面積は

$S = \int_2^5 (7-x - \frac{10}{x}) \, dx$

$S = \left[ 7x - \frac{x^2}{2} - 10\ln x \right]_2^5$

$S = \left[ 35 - \frac{25}{2} - 10\ln 5 \right] - \left[ 14 - \frac{4}{2} - 10\ln 2 \right]$

$S = 35 - \frac{25}{2} - 10\ln 5 - 14 + 2 + 10\ln 2$

$S = 23 - \frac{25}{2} + 10 \ln \frac{2}{5}$

$S = \frac{46 - 25}{2} + 10 \ln \frac{2}{5}$

$S = \frac{21}{2} + 10 \ln \frac{2}{5}$

(4) $y = x^3$ と $y = 4x^2 - 3x$

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^3 = 4x^2 - 3x$

$x^3 - 4x^2 + 3x = 0$

$x(x^2 - 4x + 3) = 0$

$x(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 0, 1, 3$ が交点の $x$ 座標です。

$0 \leq x \leq 1$ で $x^3 \geq 4x^2 - 3x$

$1 \leq x \leq 3$ で $x^3 \leq 4x^2 - 3x$

$S = \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx + \int_1^3 (4x^2 - 3x - x^3) \, dx$

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_1^3$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} \right) + \left[ \left( \frac{4 \cdot 27}{3} - \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{81}{4} \right) - \left( \frac{4}{3} - \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) \right]$

$S = \frac{3 - 16 + 18}{12} + \left[ 36 - \frac{27}{2} - \frac{81}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \right]$

$S = \frac{5}{12} + 36 - \frac{24}{2} - \frac{80}{4} - \frac{4}{3}$

$S = \frac{5}{12} + 36 -12 -20 - \frac{4}{3} = \frac{5}{12} + 4 - \frac{16}{12}= \frac{48+5-16}{12}= \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $\frac{21}{2} + 10 \ln \frac{2}{5}$

(4) $\frac{37}{12}$