与えられた二つの関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。 (1) $ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin{2x}}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases} $ (2) $ f(x) = \begin{cases} 2x \sin{\frac{1}{x}} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた二つの関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。

(1)

$$

f(x) = \begin{cases}

\frac{\sin{2x}}{x} & (x \neq 0) \\

1 & (x=0)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x) = \begin{cases}

2x \sin{\frac{1}{x}} & (x \neq 0) \\

1 & (x=0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、次の3つの条件を満たす必要があります。

(i) $f(0)$ が定義されている。

(ii) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(iii) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ。

(1) について

(i) $f(0) = 1$ で定義されている。

(ii) $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x}$ を計算する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin{2x}}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

(iii) $\lim_{x \to 0} f(x) = 2 \neq 1 = f(0)$

したがって、(1)の関数は $x=0$ で連続ではありません。

(2) について

(i) $f(0) = 1$ で定義されている。

(ii) $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} 2x \sin{\frac{1}{x}}$ を計算する。

$-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1$ より、 $-2|x| \leq 2x\sin{\frac{1}{x}} \leq 2|x|$

$\lim_{x \to 0} -2|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} 2|x| = 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0} 2x \sin{\frac{1}{x}} = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \neq 1 = f(0)$

したがって、(2)の関数は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=0$ で連続ではない。

(2) $f(x)$ は $x=0$ で連続ではない。