関数 $y=(x+1)\sqrt{1-x^2}$ の最大値・最小値を求める問題です。ただし、定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

1. 問題の内容

関数 $y=(x+1)\sqrt{1-x^2}$ の最大値・最小値を求める問題です。ただし、定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。積の微分法を用いると、

$y' = (x+1)'\sqrt{1-x^2} + (x+1)(\sqrt{1-x^2})'$

$y' = \sqrt{1-x^2} + (x+1) \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)$

$y' = \sqrt{1-x^2} - \frac{x(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{1-x^2 - x^2 - x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{-2x^2 - x + 1}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{-(2x-1)(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}$

次に、$y'=0$ となる $x$ を求めます。$y' = 0$ となるのは、分子が0のときなので、

$-(2x-1)(x+1) = 0$

$2x-1=0$ または $x+1=0$

$x = \frac{1}{2}$ または $x = -1$

定義域の端点である $x=-1, 1$ と、 $y' = 0$ となる $x = \frac{1}{2}$ での $y$ の値を求めます。

$x=-1$ のとき、$y = (-1+1)\sqrt{1-(-1)^2} = 0$

$x=1$ のとき、$y = (1+1)\sqrt{1-1^2} = 0$

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$y = (\frac{1}{2}+1)\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{3}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

したがって、最小値は $0$ で、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

最小値: $0$