与えられた関数 $y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$ の最大値、最小値、およびそれらを取る $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$ の最大値、最小値、およびそれらを取る $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減表を作成します。

$y = \frac{2(x-1)}{x^2 - 2x + 2}$

$y'$ を計算します。

$y' = \frac{2(x^2 - 2x + 2) - 2(x-1)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 4x + 4 - (4x^2 - 8x + 4)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{-2x^2 + 4x}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{-2x(x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2x(x-2) = 0$

$x = 0, 2$

次に、$y''$ を計算します。

$y'' = \frac{(-4x+4)(x^2-2x+2)^2 - (-2x^2+4x)2(x^2-2x+2)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^4}$

$y'' = \frac{(-4x+4)(x^2-2x+2) - (-2x^2+4x)2(2x-2)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y'' = \frac{(-4x+4)(x^2-2x+2) - 4(x-1)(-2x^2+4x)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y'' = \frac{-4(x-1)(x^2-2x+2) - 4(x-1)(-2x^2+4x)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y'' = \frac{-4(x-1)(x^2-2x+2 + 2x^2-4x)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y'' = \frac{-4(x-1)(3x^2-6x+2)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y''(0) = \frac{-4(-1)(2)}{2^3} = \frac{8}{8} = 1 > 0$

$y''(2) = \frac{-4(1)(12-12+2)}{2^3} = \frac{-8}{8} = -1 < 0$

$x=0$ で極小値を取り、$x=2$ で極大値を取ります。

$x=0$ のとき、$y = \frac{2(0-1)}{0-0+2} = -1$

$x=2$ のとき、$y = \frac{2(2-1)}{4-4+2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($x=2$ のとき)

最小値: $-1$ ($x=0$ のとき)