曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$\sqrt{x} = x$ を解くと、

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

よって、$x=0$ または $x=1$ となります。

したがって、交点の座標は $(0,0)$ と $(1,1)$ です。

$0 \le x \le 1$ において、$\sqrt{x} \ge x$ であるため、求める面積 $S$ は、定積分を用いて次のように表されます。

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$

積分を実行します。

$S = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) dx$

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{1}{2}(0)^2 \right)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

$S = \frac{4}{6} - \frac{3}{6}$

$S = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$