関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の導関数 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の導関数 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{\log x}{x^2}$ の導関数 $y'$ を求めます。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = \log x$ 、$v = x^2$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$ 、$v' = 2x$ となります。

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{x(1 - 2\log x)}{x^4} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$y' = 0$ となるのは、分子 $1 - 2\log x = 0$ のときです。よって、

$1 - 2\log x = 0$

$2\log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

画像中の解答には $x = 0$ が書かれていますが、$x=0$ は $\log x$ が定義されないため、$y'$ が存在しません。また、分母$x^3$ も$0$になってしまうため、$x=0$は解ではありません。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{e}$