媒介変数表示された関数 $x = -\cos 3t$, $y = \sin 4t$ (ただし $0 \le t \le \frac{\pi}{4}$) について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減表から極値を求めます。 (2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos 4t \cos 3t \mp \sin 4t \sin 3t$ を利用して、$\sin 4t \sin 3t$ を $\cos$ の式で表します。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数 $x = -\cos 3t$, $y = \sin 4t$ (ただし $0 \le t \le \frac{\pi}{4}$) について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減表から極値を求めます。

(2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos 4t \cos 3t \mp \sin 4t \sin 3t$ を利用して、$\sin 4t \sin 3t$ を $\cos$ の式で表します。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(2) について：

$\cos(4t - 3t) = \cos 4t \cos 3t + \sin 4t \sin 3t$

$\cos(4t + 3t) = \cos 4t \cos 3t - \sin 4t \sin 3t$

2式の差を計算すると、

$\cos(4t - 3t) - \cos(4t + 3t) = 2 \sin 4t \sin 3t$

$\cos t - \cos 7t = 2 \sin 4t \sin 3t$

よって、

$\sin 4t \sin 3t = \frac{1}{2}(\cos t - \cos 7t)$

(3)について:

求める面積 $S$ は、

$S = \int y dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \sin 4t \frac{dx}{dt} dt$

$\frac{dx}{dt} = 3 \sin 3t$ より、

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} 3 \sin 4t \sin 3t dt$

(2) の結果より、

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} 3 \cdot \frac{1}{2} (\cos t - \cos 7t) dt = \frac{3}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} (\cos t - \cos 7t) dt$

$S = \frac{3}{2} \left[ \sin t - \frac{1}{7} \sin 7t \right]_{\frac{\pi}{4}}^{0} = \frac{3}{2} \left[ (0 - 0) - \left( \sin \frac{\pi}{4} - \frac{1}{7} \sin \frac{7\pi}{4} \right) \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{7} \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) \right] = \frac{3}{2} \left[ - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{14} \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ - \frac{7 \sqrt{2}}{14} - \frac{\sqrt{2}}{14} \right] = \frac{3}{2} \left[ - \frac{8 \sqrt{2}}{14} \right] = - \frac{3}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{2}}{7} = -\frac{6\sqrt{2}}{7}$

面積なので絶対値を取ると、

$S = \frac{6\sqrt{2}}{7}$

1. 最終的な答え

(2) $\cos 7t$

(3) $\frac{6\sqrt{2}}{7}$