次の微分方程式の一般解を求めます。 (a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$ (b) $y' - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = 0$ (c) $xy' - y - \sqrt{x^2 + y^2} = 0$

1. 問題の内容

次の微分方程式の一般解を求めます。

(a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$

(b) $y' - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = 0$

(c) $xy' - y - \sqrt{x^2 + y^2} = 0$

2. 解き方の手順

(a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$

これは同次形の微分方程式です。$y = vx$ とおくと、$y' = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

これを代入すると、

$v + x\frac{dv}{dx} + \frac{x^2 - v^2x^2}{2x^2v} = 0$

$v + x\frac{dv}{dx} + \frac{1 - v^2}{2v} = 0$

$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1 - v^2}{2v} - v = -\frac{1 - v^2 + 2v^2}{2v} = -\frac{1 + v^2}{2v}$

$\frac{2v}{1 + v^2} dv = -\frac{1}{x} dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{2v}{1 + v^2} dv = \int -\frac{1}{x} dx$

$\ln(1 + v^2) = -\ln|x| + C$

$\ln(1 + v^2) + \ln|x| = C$

$\ln(|x|(1 + v^2)) = C$

$|x|(1 + v^2) = e^C = A$ （Aは定数）

$x(1 + \frac{y^2}{x^2}) = A$

$x + \frac{y^2}{x} = A$

$x^2 + y^2 = Ax$

(b) $y' - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = 0$

$y' = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$

これも同次形の微分方程式です。$y = vx$ とおくと、$y' = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x^2v}{x^2 - v^2x^2} = \frac{2v}{1 - v^2}$

$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1 - v^2} - v = \frac{2v - v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v + v^3}{1 - v^2}$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} dv = \frac{1}{x} dx$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{A}{v} + \frac{Bv + C}{1 + v^2}$ と部分分数分解します。

$1 - v^2 = A(1 + v^2) + (Bv + C)v = A + Av^2 + Bv^2 + Cv = (A + B)v^2 + Cv + A$

$A = 1, C = 0, A + B = -1 \Rightarrow B = -2$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}$

$(\frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2})dv = \frac{1}{x}dx$

$\int (\frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2})dv = \int \frac{1}{x}dx$

$\ln|v| - \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C$

$\ln|\frac{v}{1 + v^2}| = \ln|x| + C$

$\frac{v}{1 + v^2} = Ax$

$\frac{y/x}{1 + y^2/x^2} = Ax$

$\frac{y}{x + y^2/x} = Ax$

$\frac{y}{(x^2 + y^2)/x} = Ax$

$\frac{xy}{x^2 + y^2} = Ax$

$xy = Ax^2 + Ay^2$

$x^2 + y^2 = \frac{1}{A}y = By$ (Bは定数)

(c) $xy' - y - \sqrt{x^2 + y^2} = 0$

$xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2}$

$y' = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$

$y = vx$ とおくと、$y' = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

$v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$

$x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$

$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{1}{x} dx$

$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{1}{x} dx$

$\sinh^{-1}(v) = \ln|x| + C$

$v = \sinh(\ln|x| + C)$

$\frac{y}{x} = \sinh(\ln|x| + C)$

$y = x\sinh(\ln|x| + C)$

3. 最終的な答え

(a) $x^2 + y^2 = Ax$

(b) $x^2 + y^2 = By$

(c) $y = x\sinh(\ln|x| + C)$