媒介変数 $t$ を用いて $x = -\cos 3t$, $y = \sin 4t$ と表される関数 $y = f(x)$ のグラフについて、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求める。 (2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos 4t \cos 3t \mp \sin 4t \sin 3t$ (複号同順) を利用して、$\sin 4t \sin 3t$ を $\cos$ の式で表す。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = -\cos 3t$, $y = \sin 4t$ と表される関数 $y = f(x)$ のグラフについて、以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求める。

(2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos 4t \cos 3t \mp \sin 4t \sin 3t$ (複号同順) を利用して、$\sin 4t \sin 3t$ を $\cos$ の式で表す。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -\cos 3t$ より $\frac{dx}{dt} = 3 \sin 3t$

$y = \sin 4t$ より $\frac{dy}{dt} = 4 \cos 4t$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4 \cos 4t}{3 \sin 3t}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは $\cos 4t = 0$ のときなので、$4t = \frac{\pi}{2}$ より $t = \frac{\pi}{8}$

$t = \frac{\pi}{8}$ のとき、$x = -\cos \frac{3\pi}{8}$, $y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

したがって、極値は $1$

(2) $\cos(4t - 3t) = \cos t = \cos 4t \cos 3t + \sin 4t \sin 3t$

$\cos(4t + 3t) = \cos 7t = \cos 4t \cos 3t - \sin 4t \sin 3t$

$\cos t - \cos 7t = 2 \sin 4t \sin 3t$

したがって、$\sin 4t \sin 3t = \frac{1}{2} (\cos t - \cos 7t)$

(3) 面積を求める。

$S = \int y dx = \int_{\pi/4}^{0} \sin 4t \cdot (-3\sin 3t) dt = 3 \int_{0}^{\pi/4} \sin 4t \sin 3t dt$

(2)の結果より $S = 3 \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} (\cos t - \cos 7t) dt$

$S = \frac{3}{2} \left[ \sin t - \frac{1}{7} \sin 7t \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{3}{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} - \frac{1}{7} \sin \frac{7\pi}{4} \right)$

$S = \frac{3}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{7} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $1$

(2) $7t$

(3) $\frac{6\sqrt{2}}{7}$