次の関数の極値を求める問題です。 (1) $y = |x - 3|\sqrt{x}$ (2) $y = |x^2 - 2x| + 3$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求める問題です。

(1) $y = |x - 3|\sqrt{x}$

(2) $y = |x^2 - 2x| + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x - 3|\sqrt{x}$ について

まず、$x \geq 0$ である必要があります。

$x \geq 0$ において、$x-3$ の符号で場合分けします。

(i) $0 \leq x < 3$ のとき

$y = (3 - x)\sqrt{x} = 3\sqrt{x} - x\sqrt{x} = 3x^{1/2} - x^{3/2}$

$y' = \frac{3}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}(1 - x)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ のとき。

$0 < x < 1$ で $y' > 0$, $1 < x < 3$ で $y' < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = (3 - 1)\sqrt{1} = 2$

(ii) $x \geq 3$ のとき

$y = (x - 3)\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = x^{3/2} - 3x^{1/2}$

$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}(x - 1)$

$x > 3$ で $y' > 0$ なので、$y$ は単調増加。

$x = 0$ のとき、$y = |0 - 3|\sqrt{0} = 0$

$x = 3$ のとき、$y = |3 - 3|\sqrt{3} = 0$

よって、$x = 0$ と $x = 3$ で極小値 0 をとる。

(2) $y = |x^2 - 2x| + 3$ について

$y = |x(x - 2)| + 3$

$x^2 - 2x$ の符号で場合分けします。

(i) $x \leq 0$ または $x \geq 2$ のとき

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$

$y' = 2x - 2 = 2(x - 1)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ のときだが、$x \leq 0$ または $x \geq 2$ の範囲外なので不適。

$x \leq 0$ で $y' < 0$, $x \geq 2$ で $y' > 0$

(ii) $0 < x < 2$ のとき

$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$

$y' = -2x + 2 = -2(x - 1)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ のとき。

$0 < x < 1$ で $y' > 0$, $1 < x < 2$ で $y' < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = |1^2 - 2(1)| + 3 = |-1| + 3 = 4$

$x = 0$ のとき、$y = |0^2 - 2(0)| + 3 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = |2^2 - 2(2)| + 3 = 3$

$x = 0$ と $x = 2$ で極小値 3 をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = |x - 3|\sqrt{x}$

極大値: $x = 1$ のとき $y = 2$

極小値: $x = 0$ のとき $y = 0$, $x = 3$ のとき $y = 0$

(2) $y = |x^2 - 2x| + 3$

極大値: $x = 1$ のとき $y = 4$

極小値: $x = 0$ のとき $y = 3$, $x = 2$ のとき $y = 3$