$\log_x 3$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log_x 3$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、底を自然対数 $e$ に変換します。

$\log_x 3 = \frac{\log_e 3}{\log_e x} = \frac{\ln 3}{\ln x}$

次に、$\frac{\ln 3}{\ln x}$ を $x$ で微分します。 $\ln 3$ は定数なので、定数倍の微分の公式と、$\frac{1}{x}$ の微分 $-\frac{1}{x^2}$ を利用します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\ln 3}{\ln x} \right) = \ln 3 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln x} \right)$

$\frac{1}{\ln x}$ を微分するために、合成関数の微分法（チェインルール）を適用します。

$u = \ln x$ とすると、$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{u} \right) = \frac{d}{du} \left( \frac{1}{u} \right) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x}$.

したがって、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\ln 3}{\ln x} \right) = \ln 3 \cdot \left( -\frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} \right) = -\frac{\ln 3}{x (\ln x)^2}$.

底の変換公式 $\ln x = \log_e x$ から、$\frac{\ln 3}{\ln x} = \log_x 3$ なので、$\ln 3 = (\ln x) (\log_x 3)$となり、これを代入すると、

$-\frac{(\ln x)(\log_x 3)}{x (\ln x)^2} = -\frac{\log_x 3}{x \ln x}$.

3. 最終的な答え

$-\frac{\ln 3}{x (\ln x)^2}$

または

$-\frac{\log_x 3}{x \ln x}$