数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。数列の一般項は、$a_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ で与えられます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。数列の一般項は、$a_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ で与えられます。

2. 解き方の手順

数列の極限を求めるために、まず式を変形します。$\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ に $\frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$ を掛けます。

$a_n = (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$a_n = \frac{(\sqrt{n+2})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$a_n = \frac{n+2 - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$a_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+2} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

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