2重積分 $\iint_D \sqrt{y-x} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y) \mid x+y \le 1, y \ge x, x \ge 0\}$ で計算します。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D \sqrt{y-x} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y) \mid x+y \le 1, y \ge x, x \ge 0\}$ で計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を図示します。領域は、直線 $x+y=1$, $y=x$, $x=0$ で囲まれた三角形の領域です。

$x+y \le 1$ より $y \le 1-x$ であり、$y \ge x$ であるので、 $x \le y \le 1-x$ となります。

また、$x \ge 0$ かつ $y \ge x$ かつ $y \le 1-x$ より、$x \le 1-x$ なので、$2x \le 1$ となり、$x \le \frac{1}{2}$となります。

さらに、$y \ge x$ かつ $x \ge 0$ と、$x+y \le 1$ から、$x$ の範囲は、$0 \le x \le \frac{1}{2}$となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_0^{\frac{1}{2}} \int_x^{1-x} \sqrt{y-x} \, dy \, dx$

まず、内側の積分を計算します。

$\int_x^{1-x} \sqrt{y-x} \, dy = \left[ \frac{2}{3}(y-x)^{3/2} \right]_x^{1-x} = \frac{2}{3}((1-x)-x)^{3/2} - \frac{2}{3}(x-x)^{3/2} = \frac{2}{3}(1-2x)^{3/2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{2}{3}(1-2x)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \int_0^{\frac{1}{2}} (1-2x)^{3/2} \, dx$

$u = 1-2x$ とおくと、$du = -2 \, dx$ より、$dx = -\frac{1}{2} \, du$ となります。

また、$x=0$ のとき $u=1$ であり、$x=\frac{1}{2}$ のとき $u=0$ です。

したがって、

$\frac{2}{3} \int_1^0 u^{3/2} (-\frac{1}{2}) \, du = -\frac{1}{3} \int_1^0 u^{3/2} \, du = \frac{1}{3} \int_0^1 u^{3/2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1^{5/2} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5/2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}$