問題は、次の級数の和 $S$ を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$ 画像には、$S$ の式が与えられ、その両辺に $\frac{1}{3}$ をかけた式が書かれています。 $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^n}$

1. 問題の内容

問題は、次の級数の和 $S$ を求めることです。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

画像には、$S$ の式が与えられ、その両辺に $\frac{1}{3}$ をかけた式が書かれています。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^n}$

2. 解き方の手順

この問題を解くには、まず $S$ を書き下します。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

次に、両辺に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \cdots + \frac{n}{3^n}$

ここで、$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \cdots + \frac{n}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{4}{3^3} - \frac{3}{3^3}) + \cdots + (\frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^{n-1}}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は初項1、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和なので、次のように表されます。

$\frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{9}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$