与えられた関数 $2x^2e^{x^2} + (x^2+1)^2$ の積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $2x^2e^{x^2} + (x^2+1)^2$ の積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2+1)^2$ を展開します。

$(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

したがって、積分すべき関数は $2x^2e^{x^2} + x^4 + 2x^2 + 1$ です。

これを項ごとに積分します。

$\int (2x^2e^{x^2} + x^4 + 2x^2 + 1) dx = \int 2x^2e^{x^2} dx + \int x^4 dx + \int 2x^2 dx + \int 1 dx$

各項の積分を計算します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int 2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 + C_2$

$\int x^4 dx = \frac{1}{5}x^5 + C_3$

$\int 2x^2e^{x^2} dx$

最後の積分 $\int 2x^2e^{x^2} dx$ については、部分積分を行います。

$u=x$, $dv = 2xe^{x^2} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = e^{x^2}$ となります。

$\int 2x^2e^{x^2} dx = \int x (2xe^{x^2}) dx = xe^{x^2} - \int e^{x^2} dx$

したがって、元の積分は、

$\int 2x^2e^{x^2} + x^4 + 2x^2 + 1 dx = xe^{x^2} - \int e^{x^2} dx + \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C$

$\int e^{x^2} dx$ は初等関数で表せない積分です。これは誤差関数に関連する積分です。誤差関数を $erf(x)$ と書くと、

$\int e^{x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(x)$

ここで $erfi(x)$ は虚誤差関数 $erfi(x) = -i erf(ix)$ です。

したがって、求める積分は

$xe^{x^2} + \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x - \int e^{x^2} dx + C = xe^{x^2} + \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x - \frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(x) + C$

3. 最終的な答え

$xe^{x^2} + \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x - \frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(x) + C$

ここで、$erfi(x)$は虚誤差関数、$C$は積分定数。