問題は、商の導関数を求める公式 $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ を用いて、与えられた関数を微分することです。ここでは、2つの関数について微分を求めます。 (1) $y = \frac{5x+6}{3x+4}$ (5) $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$

1. 問題の内容

問題は、商の導関数を求める公式 $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ を用いて、与えられた関数を微分することです。ここでは、2つの関数について微分を求めます。

(1) $y = \frac{5x+6}{3x+4}$

(5) $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{5x+6}{3x+4}$ の場合：

* $f(x) = 5x+6$ と $g(x) = 3x+4$ と置きます。

* それぞれの導関数を計算します。$f'(x) = 5$ と $g'(x) = 3$ です。

* 商の導関数の公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5(3x+4) - (5x+6)3}{(3x+4)^2}$

* 分子を整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{15x + 20 - 15x - 18}{(3x+4)^2} = \frac{2}{(3x+4)^2}$

(5) $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$ の場合：

* $f(x) = 3x+5$ と $g(x) = x^2-4$ と置きます。

* それぞれの導関数を計算します。$f'(x) = 3$ と $g'(x) = 2x$ です。

* 商の導関数の公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2-4) - (3x+5)(2x)}{(x^2-4)^2}$

* 分子を整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 12 - 6x^2 - 10x}{(x^2-4)^2} = \frac{-3x^2 - 10x - 12}{(x^2-4)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{5x+6}{3x+4}$ の導関数：

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(3x+4)^2}$

(5) $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$ の導関数：

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 10x - 12}{(x^2-4)^2}$