次の3つの関数を合成関数の微分を用いて微分する問題です。 (a) $y = (3x - 2)^3 + 5$ (b) $y = (\frac{x}{x - 1})^3$ (c) $y = \frac{1}{(6 - 3x)^4}$

1. 問題の内容

次の3つの関数を合成関数の微分を用いて微分する問題です。

(a) $y = (3x - 2)^3 + 5$

(b) $y = (\frac{x}{x - 1})^3$

(c) $y = \frac{1}{(6 - 3x)^4}$

2. 解き方の手順

(a) $y = (3x - 2)^3 + 5$の場合:

まず、$u = 3x - 2$ とおくと、$y = u^3 + 5$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 3$

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9u^2 = 9(3x - 2)^2$

(b) $y = (\frac{x}{x - 1})^3$の場合:

まず、$u = \frac{x}{x - 1}$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{-1}{(x - 1)^2} = 3(\frac{x}{x - 1})^2 \cdot \frac{-1}{(x - 1)^2} = \frac{-3x^2}{(x - 1)^4}$

(c) $y = \frac{1}{(6 - 3x)^4}$の場合:

$y = (6 - 3x)^{-4}$と書き換えます。

$u = 6 - 3x$ とおくと、$y = u^{-4}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -4u^{-5}$

$\frac{du}{dx} = -3$

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -4u^{-5} \cdot (-3) = 12u^{-5} = \frac{12}{(6 - 3x)^5}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dy}{dx} = 9(3x - 2)^2$

(b) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2}{(x - 1)^4}$

(c) $\frac{dy}{dx} = \frac{12}{(6 - 3x)^5}$