次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ (2) $g(x) = \log(\tan x)$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$

(2) $g(x) = \log(\tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sin x - \cos x$とすると $u' = \cos x + \sin x$.

$v = \sin x + \cos x$とすると $v' = \cos x - \sin x$.

よって、

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{2}{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x} = \frac{2}{1 + 2 \sin x \cos x} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

(2) $g(x) = \log(\tan x)$ の微分

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = \tan x$とすると $u' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

よって、

$g'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

(2) $g'(x) = \frac{2}{\sin 2x}$