$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ を満たす $\theta$ と正の整数 $m$ に対して、関数 $f_m(\theta)$ が $f_m(\theta) = \sum_{k=0}^m \sin(\theta + 60^\circ \times k)$ と定義される。 (1) $f_5(\theta)$ を求めよ。 (2) $\theta$ が $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ の範囲を動くとき、$f_4(\theta)$ の最大値を求めよ。 (3) $m$ がすべての正の整数を動き、$\theta$ が $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ の範囲を動くとき、$f_m(\theta)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ を満たす $\theta$ と正の整数 $m$ に対して、関数 $f_m(\theta)$ が

$f_m(\theta) = \sum_{k=0}^m \sin(\theta + 60^\circ \times k)$

と定義される。

(1) $f_5(\theta)$ を求めよ。

(2) $\theta$ が $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ の範囲を動くとき、$f_4(\theta)$ の最大値を求めよ。

(3) $m$ がすべての正の整数を動き、$\theta$ が $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ の範囲を動くとき、$f_m(\theta)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f_5(\theta)$ を求める。

$f_5(\theta) = \sum_{k=0}^5 \sin(\theta + 60^\circ k) = \sin(\theta) + \sin(\theta + 60^\circ) + \sin(\theta + 120^\circ) + \sin(\theta + 180^\circ) + \sin(\theta + 240^\circ) + \sin(\theta + 300^\circ)$

三角関数の和積の公式を利用して計算を簡単にする。

$\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$

$f_5(\theta) = (\sin \theta + \sin (\theta+300^\circ)) + (\sin(\theta+60^\circ) + \sin(\theta+240^\circ)) + (\sin(\theta+120^\circ) + \sin(\theta+180^\circ))$

$= 2 \sin(\theta + 150^\circ) \cos(150^\circ) + 2 \sin(\theta+150^\circ) \cos(90^\circ) + 2 \sin(\theta+150^\circ) \cos(30^\circ)$

$= 2 \sin(\theta + 150^\circ) (\cos 150^\circ + \cos 90^\circ + \cos 30^\circ)$

$= 2 \sin(\theta + 150^\circ) (-\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$

したがって、$f_5(\theta) = 0$ である。

(2) $f_4(\theta)$ の最大値を求める。

$f_4(\theta) = \sum_{k=0}^4 \sin(\theta + 60^\circ k) = \sin(\theta) + \sin(\theta + 60^\circ) + \sin(\theta + 120^\circ) + \sin(\theta + 180^\circ) + \sin(\theta + 240^\circ)$

$f_4(\theta) = \sin(\theta) + \sin(\theta + 60^\circ) + \sin(\theta + 120^\circ) + \sin(\theta + 180^\circ) + \sin(\theta + 240^\circ)$

$= (\sin(\theta) + \sin(\theta+240^\circ)) + (\sin(\theta+60^\circ)+\sin(\theta+180^\circ)) + \sin(\theta+120^\circ)$

$= 2\sin(\theta+120^\circ)\cos(120^\circ) + 2\sin(\theta+120^\circ)\cos(60^\circ) + \sin(\theta+120^\circ)$

$= 2\sin(\theta+120^\circ)(-\frac{1}{2}) + 2\sin(\theta+120^\circ)(\frac{1}{2}) + \sin(\theta+120^\circ) = \sin(\theta+120^\circ)$

$f_4(\theta) = \sin(\theta+120^\circ)$

$f_4(\theta)$ の最大値は $\sin(\theta+120^\circ) = 1$ となる時である。

$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ であるから、$\theta + 120^\circ = 90^\circ$ ではない。

$\theta + 120^\circ = 90^\circ + 360^\circ n$

$\theta = -30^\circ + 360^\circ n$

$\theta = 330^\circ$

よって、最大値は $1$ である。

(3) $f_m(\theta)$ の最大値を求める。

$f_m(\theta) = \sum_{k=0}^m \sin(\theta + 60^\circ k)$

$f_m(\theta) = \frac{\sin(\theta + 60^\circ (m/2)) \sin(60^\circ (m+1)/2)}{\sin 30^\circ}$

$f_m(\theta) = \frac{\sin(\theta + 30^\circ m) \sin(30^\circ (m+1))}{1/2}$

$f_m(\theta) = 2\sin(\theta + 30^\circ m) \sin(30^\circ (m+1))$

$|f_m(\theta)| \le 2 |\sin(30^\circ(m+1))|$

$|\sin(\theta+30^\circ m)|=1$ の時、$f_m(\theta)$ は最大になる。

したがって最大値は $2|\sin(30^\circ (m+1))|$ である。

$m$ が動くとき、$\sin(30^\circ(m+1))$ の絶対値の最大値は $1$ である。

したがって、$f_m(\theta)$ の最大値は $2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f_5(\theta) = 0$

(2) $1$

(3) $2$