与えられた関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ を $x$ について微分し、$dy/dx$ を求める。

承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ を $x$ について微分し、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。

商の微分公式は、$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = \sin x - \cos x$、 $v = \sin x + \cos x$ とおきます。

まず、$u$ と $v$ をそれぞれ微分します。

$u' = \frac{d}{dx} (\sin x - \cos x) = \cos x + \sin x$

$v' = \frac{d}{dx} (\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{(\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので、

$y' = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

さらに、分母を展開します。

$y' = \frac{2}{\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x}$

$y' = \frac{2}{1 + 2\sin x\cos x}$

ここで、$2\sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

$y' = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$