数列 $\frac{3}{1^2}, \frac{5}{1^2 + 2^2}, \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2}, \frac{9}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。今回は、(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

数列 $\frac{3}{1^2}, \frac{5}{1^2 + 2^2}, \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2}, \frac{9}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項 $a_n$ を求めます。

分子は $2n+1$ であり、分母は $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ です。

したがって、

$$a_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$$

部分分数分解すると、

$$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

\begin{align*}

S_n &= \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 6 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\

&= 6 \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right] \\

&= 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\

&= 6 \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) \\

&= \frac{6n}{n+1}

\end{align*}

3. 最終的な答え

数列の初項から第 $n$ 項までの和は、$\frac{6n}{n+1}$ です。