与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、問題(3), (4), (5)を解きます。 (3) $y = 2x^3 - 6x + 1$ (4) $y = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$ (5) $y = -x^3 + 9x^2 - 15x$

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、問題(3), (4), (5)を解きます。

(3) $y = 2x^3 - 6x + 1$

(4) $y = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$

(5) $y = -x^3 + 9x^2 - 15x$

2. 解き方の手順

関数の極値を求めるには、次の手順に従います。

(1) 関数を微分し、$y'$ を求めます。

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。これらは極値の候補となる点です。

(3) $y''$ を求めます。

(4) $y' = 0$ となる各 $x$ について、$y''$ の符号を調べます。

- $y'' > 0$ ならば、その点で極小値をとります。

- $y'' < 0$ ならば、その点で極大値をとります。

- $y'' = 0$ ならば、さらに高階微分を調べる必要がありますが、ここでは割愛します。

(5) 極値を与える $x$ を元の関数に代入し、極値を求めます。

(3) $y = 2x^3 - 6x + 1$

$y' = 6x^2 - 6$

$y' = 0$ となる $x$ は、

$6x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$y'' = 12x$

$x = 1$ のとき、$y'' = 12 > 0$ なので、極小値をとります。

$x = -1$ のとき、$y'' = -12 < 0$ なので、極大値をとります。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3$ (極小値)

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$ (極大値)

(4) $y = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$

$y' = 3x^2 + 6x + 4$

$y' = 0$ となる $x$ は、

$3x^2 + 6x + 4 = 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(4)}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{-12}}{6}$

判別式が負なので、実数解はありません。したがって、極値はありません。

(5) $y = -x^3 + 9x^2 - 15x$

$y' = -3x^2 + 18x - 15$

$y' = 0$ となる $x$ は、

$-3x^2 + 18x - 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

$y'' = -6x + 18$

$x = 1$ のとき、$y'' = -6(1) + 18 = 12 > 0$ なので、極小値をとります。

$x = 5$ のとき、$y'' = -6(5) + 18 = -12 < 0$ なので、極大値をとります。

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^3 + 9(1)^2 - 15(1) = -1 + 9 - 15 = -7$ (極小値)

$x = 5$ のとき、$y = -(5)^3 + 9(5)^2 - 15(5) = -125 + 225 - 75 = 25$ (極大値)

3. 最終的な答え

(3) 極大値: 5 ($x = -1$ のとき), 極小値: -3 ($x = 1$ のとき)

(4) 極値なし

(5) 極大値: 25 ($x = 5$ のとき), 極小値: -7 ($x = 1$ のとき)