放物線 $y = -x^2 + 4x$ の接線のうち、点 $(0, 9)$ を通る2本の接線を求める。 次に、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 4x$ の接線のうち、点 $(0, 9)$ を通る2本の接線を求める。

次に、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(t, -t^2 + 4t)$ における接線を求める。

$y' = -2x + 4$ より、接線の傾きは $-2t + 4$ である。

したがって、接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 4t) = (-2t + 4)(x - t)$

$y = (-2t + 4)x - t^2 + 4t + (-t^2 + 4t)$

$y = (-2t + 4)x + t^2$

この接線が点 $(0, 9)$ を通るので、

$9 = (-2t + 4)(0) + t^2$

$t^2 = 9$

$t = \pm 3$

$t = 3$ のとき、接線の方程式は、

$y = (-2(3) + 4)x + 9$

$y = -2x + 9$

$t = -3$ のとき、接線の方程式は、

$y = (-2(-3) + 4)x + 9$

$y = 10x + 9$

したがって、②は $y = 10x + 9$、③は $y = -2x + 9$ である。

次に、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

放物線と接線②の交点の $x$ 座標は、

$-x^2 + 4x = 10x + 9$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$

放物線と接線③の交点の $x$ 座標は、

$-x^2 + 4x = -2x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

2つの接線の交点の $x$ 座標は、

$10x + 9 = -2x + 9$

$12x = 0$

$x = 0$

求める面積は、

$\int_{-3}^{0} (-x^2 + 4x - (10x + 9)) dx + \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - (-2x + 9)) dx$

$= \int_{-3}^{0} (-x^2 - 6x - 9) dx + \int_{0}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - 9x]_{-3}^{0} + [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x]_{0}^{3}$

$= 0 - (-\frac{1}{3}(-27) - 3(9) - 9(-3)) + (-\frac{1}{3}(27) + 3(9) - 9(3)) - 0$

$= -(9 - 27 + 27) + (-9 + 27 - 27)$

$= -9 - 9 = -18$

面積なので絶対値を取って 18。

3. 最終的な答え

アイ: 10

ウ: 9

エオ: -2

カ: 9

キク: 18