問題66：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を求めよ。 問題67：$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題66：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を求めよ。

問題67：$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題66：

まず、$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(k+2) - (k+1)} = \sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})$

この和は、

$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$

のように、隣り合う項が打ち消し合うtelescoping sumになります。

結果として、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = \sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

問題67：

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

両辺に4をかけると

$4S = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n$

$S - 4S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

$-3S = \frac{1 - 4^n}{1 - 4} - n \cdot 4^n = \frac{1 - 4^n}{ -3} - n \cdot 4^n$

$-3S = \frac{1 - 4^n + 3n \cdot 4^n}{-3}$

$9S = 1 - 4^n + 3n \cdot 4^n = 1 + (3n - 1)4^n$

$S = \frac{1 + (3n - 1)4^n}{9}$

3. 最終的な答え

問題66：$\sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

問題67：$S = \frac{1 + (3n - 1)4^n}{9}$