与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 4})$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 4})$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数関数の微分公式を思い出します。$u$ を $x$ の関数とすると、

$\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

となります。

今回の問題では、$u = x + \sqrt{x^2 + 4}$ なので、$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 4}} \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 4})$ となります。

次に、$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 4})$ を計算します。

$\frac{d}{dx} x = 1$ であることは明らかです。

$\sqrt{x^2 + 4}$ の微分を計算するために、合成関数の微分公式を使います。$v = x^2 + 4$ とすると、$\sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{v}$ であり、

$\frac{d}{dx} \sqrt{v} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \frac{dv}{dx}$

となります。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 + 4) = 2x$

なので、

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 4} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$

となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 4}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{\sqrt{x^2 + 4} + x}{\sqrt{x^2 + 4}}$

となります。

これを $y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 4}} \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 4})$ に代入すると、

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 4}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}$

となります。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}$