積の導関数を求める公式 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いて、以下の関数を微分する。 (4) $y = (2x^2 + 3x + 4)(3x - 2)$ (6) $y = (x^2 + 2)(2\sqrt{x} + 1)$

1. 問題の内容

積の導関数を求める公式 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いて、以下の関数を微分する。

(4) $y = (2x^2 + 3x + 4)(3x - 2)$

(6) $y = (x^2 + 2)(2\sqrt{x} + 1)$

2. 解き方の手順

(4) $y = (2x^2 + 3x + 4)(3x - 2)$ の微分

まず、$f(x) = 2x^2 + 3x + 4$、$g(x) = 3x - 2$ とおく。

次に、それぞれの導関数を求める。

$f'(x) = 4x + 3$

$g'(x) = 3$

積の導関数の公式 $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ に代入する。

$y' = (4x + 3)(3x - 2) + (2x^2 + 3x + 4)(3)$

$= 12x^2 - 8x + 9x - 6 + 6x^2 + 9x + 12$

$= 18x^2 + 10x + 6$

(6) $y = (x^2 + 2)(2\sqrt{x} + 1)$ の微分

まず、$f(x) = x^2 + 2$、$g(x) = 2\sqrt{x} + 1 = 2x^{1/2} + 1$ とおく。

次に、それぞれの導関数を求める。

$f'(x) = 2x$

$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

積の導関数の公式 $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ に代入する。

$y' = 2x(2\sqrt{x} + 1) + (x^2 + 2)(\frac{1}{\sqrt{x}})$

$= 4x\sqrt{x} + 2x + \frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$= 4x^{3/2} + 2x + x^{3/2} + 2x^{-1/2}$

$= 5x^{3/2} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$= 5x\sqrt{x} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(4) $y' = 18x^2 + 10x + 6$

(6) $y' = 5x\sqrt{x} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$