関数 $f(x) = |x-1|$ が $x=1$ で微分可能でないことを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x-1|$ が $x=1$ で微分可能でないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

微分可能性を示すためには、左側極限と右側極限が一致しないことを示します。

まず、$x=1$ における右側極限を計算します。

$h>0$とすると、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|1+h-1| - |1-1|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = 1

$$$$

次に、$x=1$ における左側極限を計算します。

$h>0$とすると、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to +0} \frac{|1-h-1| - |1-1|}{-h} = \lim_{h \to +0} \frac{|-h|}{-h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{-h} = -1

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右側極限と左側極限は一致しないため、$x=1$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

右側極限が 1 で、左側極限が -1 であるため、$x=1$ において微分可能ではありません。