$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、いくつかの方法があります。ここでは、ロピタルの定理を用いる方法と、三角関数の恒等式を用いて変形する方法の2つを紹介します。

**方法1: ロピタルの定理**

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形を取るときに適用できます。この問題では、$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \to 0$ かつ $\sin x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を用いることができます。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$

$1 - \cos x$ の微分は $\sin x$ であり、$\sin x$ の微分は $\cos x$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \tan x$

$x \to 0$ のとき $\tan x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \tan x = 0$

**方法2: 三角関数の恒等式**

$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ および $\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$ を用いて変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x}{2} \to 0$ なので、$\sin(\frac{x}{2}) \to 0$ かつ $\cos(\frac{x}{2}) \to 1$。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

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