$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、いくつかの方法があります。ここでは、ロピタルの定理を用いる方法と、三角関数の性質を利用する方法を示します。

**方法1：ロピタルの定理**

ロピタルの定理は、$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形に対して適用できます。$x \to 0$ のとき、$\frac{1 - \cos x}{\sin x}$ は $\frac{1 - \cos 0}{\sin 0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin x}{\cos x} \to \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0$

**方法2：三角関数の性質**

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を変形するために、分母分子に $1 + \cos x$ を掛けます。

$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin x}{1 + \cos x} \to \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

3. 最終的な答え

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