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次の関数の導関数を求めます。 (1) $f(x) = x^3$ (2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$

解析学微分導関数べき乗の微分
2025/6/15

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。
(1) f(x)=x3f(x) = x^3
(2) f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x}

2. 解き方の手順

(1) f(x)=x3f(x) = x^3 の導関数を求めます。
べき乗の微分公式 f(x)=xnf(x) = x^n のとき f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1} を利用します。
f′(x)=3x3−1=3x2f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2
(2) f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} の導関数を求めます。
まず、x3\sqrt[3]{x} を xx のべき乗の形で表します。x3=x13\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}
次に、べき乗の微分公式 f(x)=xnf(x) = x^n のとき f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1} を利用します。
f′(x)=13x13−1=13x−23=13x23=13x23f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

3. 最終的な答え

(1) f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
(2) f′(x)=13x23f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

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