与えられた関数 $y = \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡単にします。

$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ なので、

$y = \log (1+\sin x) - \log (1-\sin x)$

次に、各項を微分します。$\log f(x)$ の微分は $\frac{f'(x)}{f(x)}$ であることを利用します。

$\frac{d}{dx} \log(1+\sin x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$

$\frac{d}{dx} \log(1-\sin x) = \frac{-\cos x}{1-\sin x}$

したがって、

$y' = \frac{\cos x}{1+\sin x} - \frac{-\cos x}{1-\sin x} = \frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{\cos x}{1-\sin x}$

通分して整理します。

$y' = \frac{\cos x(1-\sin x) + \cos x(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)}$

$y' = \frac{\cos x - \cos x \sin x + \cos x + \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x}$

$y' = \frac{2\cos x}{\cos^2 x}$

$y' = \frac{2}{\cos x}$

$y' = 2 \sec x$

3. 最終的な答え

$y' = 2 \sec x$