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次の関数の導関数を求めます。 (1) $f(x) = \frac{1}{x}$ (2) $f(x) = x\sqrt{x}$

解析学導関数微分べき乗の微分関数の微分
2025/6/15

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。
(1) f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}
(2) f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}

2. 解き方の手順

(1) f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} の導関数を求める。
f(x)=x−1f(x) = x^{-1}と書き換える。
べき乗の微分公式 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} を適用する。
f′(x)=(−1)x−1−1=−x−2=−1x2f'(x) = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
(2) f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x} の導関数を求める。
f(x)=x⋅x12=x1+12=x32f(x) = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}と書き換える。
べき乗の微分公式 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} を適用する。
f′(x)=32x32−1=32x12=32xf'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

3. 最終的な答え

(1) f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^2}
(2) f′(x)=32xf'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}

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