問題は、以下の3つの関数を導関数の定義に従って微分することです。 (1) $f(x) = \frac{1}{x-2}$ (2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (3) $f(x) = \sqrt{2x}$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数を導関数の定義に従って微分することです。

(1) $f(x) = \frac{1}{x-2}$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

(3) $f(x) = \sqrt{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x-2}$ の場合：

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

これに $f(x) = \frac{1}{x-2}$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)-2} - \frac{1}{x-2}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x-2 - (x+h-2)}{(x+h-2)(x-2)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{(x+h-2)(x-2)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h-2)(x-2)}$

$= \frac{-1}{(x-2)^2}$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の場合：

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

これに $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h x^2 (x+h)^2}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h x^2 (x+h)^2}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2 (x+h)^2}$

$= \frac{-2x}{x^2 x^2}$

$= \frac{-2}{x^3}$

(3) $f(x) = \sqrt{2x}$ の場合：

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

これに $f(x) = \sqrt{2x}$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(x+h)} - \sqrt{2x}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2(x+h)} - \sqrt{2x})(\sqrt{2(x+h)} + \sqrt{2x})}{h(\sqrt{2(x+h)} + \sqrt{2x})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h) - 2x}{h(\sqrt{2(x+h)} + \sqrt{2x})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2(x+h)} + \sqrt{2x})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2(x+h)} + \sqrt{2x}}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x}}$

$= \frac{2}{2\sqrt{2x}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$= \frac{\sqrt{2x}}{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$

(2) $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

(3) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{\sqrt{2x}}{2x}$