(1) 関数 $f(x) = x^3 + ax + b$ が $x=-1$ で極大値4をとるとき、定数 $a, b$ の値を求め、極小値を求める。 (2) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $x=-1$ で極大値4をとり、$x=3$ で極小値をとるとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、極小値を求める。 3次関数 $f(x)$ が $x=1$ で極大値6をとり、$x=2$ で極小値5をとるとき、$f(x)$ を求める。 関数 $y = x(x-a)^2$ の増減を次の各場合について調べ、極値があればその極値を求める。ただし、$a$ は定数とする。 (1) $a < 0$ (2) $a = 0$ (3) $a > 0$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 + ax + b$ が $x=-1$ で極大値4をとるとき、定数 $a, b$ の値を求め、極小値を求める。

(2) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $x=-1$ で極大値4をとり、$x=3$ で極小値をとるとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、極小値を求める。

3次関数 $f(x)$ が $x=1$ で極大値6をとり、$x=2$ で極小値5をとるとき、$f(x)$ を求める。

関数 $y = x(x-a)^2$ の増減を次の各場合について調べ、極値があればその極値を求める。ただし、$a$ は定数とする。

(1) $a < 0$

(2) $a = 0$

(3) $a > 0$

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 + ax + b$

$f'(x) = 3x^2 + a$

$f(-1) = -1 - a + b = 4$ より $b = a + 5$

$f'(-1) = 3 + a = 0$ より $a = -3$

よって $b = -3 + 5 = 2$

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$

$x=-1$ で極大値をとるので、$x=1$ で極小値をとる。

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

極小値は0

(2)

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f(-1) = -1 + a - b + c = 4$ より $c = -a + b + 5$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$ の解が $x=-1, 3$ なので、解と係数の関係より

$-1 + 3 = -\frac{2a}{3}$ より $2 = -\frac{2a}{3}$ よって $a = -3$

$-1 \times 3 = \frac{b}{3}$ より $b = -9$

$c = -(-3) + (-9) + 5 = 3 - 9 + 5 = -1$

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1$

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f(3) = 27 - 27 - 27 - 1 = -28$

極小値は-28

$f(x)$ が $x=1$ で極大値6をとり、$x=2$ で極小値5をとる。

$f'(x) = k(x-1)(x-2) = k(x^2 - 3x + 2)$

$f(x) = \int k(x^2 - 3x + 2) dx = k (\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x) + C$

$f(1) = k(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) + C = k(\frac{2 - 9 + 12}{6}) + C = \frac{5}{6}k + C = 6$

$f(2) = k(\frac{8}{3} - 6 + 4) + C = k(\frac{8 - 18 + 12}{3}) + C = \frac{2}{3}k + C = 5$

$\frac{5}{6}k + C = 6$

$\frac{2}{3}k + C = 5$

$\frac{5}{6}k - \frac{4}{6}k = 1$ より $\frac{1}{6}k = 1$ よって $k = 6$

$\frac{5}{6} \times 6 + C = 6$ より $5 + C = 6$ よって $C = 1$

$f(x) = 6(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x) + 1 = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$

$y = x(x-a)^2 = x(x^2 - 2ax + a^2) = x^3 - 2ax^2 + a^2x$

$y' = 3x^2 - 4ax + a^2 = (3x - a)(x - a)$

$x = a, \frac{a}{3}$

(1) $a < 0$ のとき

$a < \frac{a}{3} < 0$

増減表より

$x$ | $\cdots$ | $a$ | $\cdots$ | $\frac{a}{3}$ | $\cdots$

$y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$

$y$ | $\nearrow$ | $0$ | $\searrow$ | $\frac{4a^3}{27}$ | $\nearrow$

$x=a$ で極大値0, $x=\frac{a}{3}$ で極小値 $\frac{4a^3}{27}$

(2) $a = 0$ のとき

$y = x^3$

$y' = 3x^2$

$y' = 0$ となるのは $x=0$ のみ

増減表より

$x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$

$y'$ | $+$ | $0$ | $+$

$y$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$

極値なし

(3) $a > 0$ のとき

$0 < \frac{a}{3} < a$

増減表より

$x$ | $\cdots$ | $\frac{a}{3}$ | $\cdots$ | $a$ | $\cdots$

$y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$

$y$ | $\nearrow$ | $\frac{4a^3}{27}$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$

$x=\frac{a}{3}$ で極大値 $\frac{4a^3}{27}$, $x=a$ で極小値0

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 2$, 極小値0

(2) $a = -3, b = -9, c = -1$, 極小値-28

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$

(1) $a < 0$ のとき、$x=a$ で極大値0, $x=\frac{a}{3}$ で極小値 $\frac{4a^3}{27}$

(2) $a = 0$ のとき、極値なし

(3) $a > 0$ のとき、$x=\frac{a}{3}$ で極大値 $\frac{4a^3}{27}$, $x=a$ で極小値0