与えられた関数を微分する問題です。以下の4つの関数について、それぞれ導関数を求めます。 (3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$ (5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t^4}$ (7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$ (8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。以下の4つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

(3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$

(5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t^4}$

(7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$

(8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$

2. 解き方の手順

(3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$ の微分:

定数の微分は0、$v^n$ の微分は $nv^{n-1}$ を利用します。

$\frac{d}{dv}r(v) = \frac{d}{dv}(1) - 3\frac{d}{dv}(v) + 2\frac{d}{dv}(v^2)$

$\frac{d}{dv}r(v) = 0 - 3(1) + 2(2v)$

$\frac{d}{dv}r(v) = -3 + 4v$

(5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t^4}$ の微分:

$\frac{4}{t^4}$ を $4t^{-4}$ と書き換えて微分します。

$\frac{d}{dt}x(t) = \frac{d}{dt}(t^2) + 4\frac{d}{dt}(t^{-4})$

$\frac{d}{dt}x(t) = 2t + 4(-4t^{-5})$

$\frac{d}{dt}x(t) = 2t - 16t^{-5} = 2t - \frac{16}{t^5}$

(7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$ の微分:

まず、関数を簡単にします。

$w(z) = \frac{3z^2}{z^2} + \frac{1}{z^2} = 3 + z^{-2}$

$\frac{d}{dz}w(z) = \frac{d}{dz}(3) + \frac{d}{dz}(z^{-2})$

$\frac{d}{dz}w(z) = 0 + (-2z^{-3}) = -2z^{-3} = -\frac{2}{z^3}$

(8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$ の微分:

$\sqrt{u}$ を $u^{1/2}$ と書き換えて微分します。

$\frac{d}{du}f(u) = \frac{d}{du}(u^3) + 4\frac{d}{du}(u^{1/2})$

$\frac{d}{du}f(u) = 3u^2 + 4(\frac{1}{2}u^{-1/2})$

$\frac{d}{du}f(u) = 3u^2 + 2u^{-1/2} = 3u^2 + \frac{2}{\sqrt{u}}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{d}{dv}r(v) = -3 + 4v$

(5) $\frac{d}{dt}x(t) = 2t - \frac{16}{t^5}$

(7) $\frac{d}{dz}w(z) = -\frac{2}{z^3}$

(8) $\frac{d}{du}f(u) = 3u^2 + \frac{2}{\sqrt{u}}$