関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の導関数を定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の導関数を定義に従って求める。

2. 解き方の手順

導関数の定義は

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。

$f(x) = \frac{1}{x}$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$

分子を通分すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{x(x+h)h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \frac{-1}{x(x+0)}$

$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$